Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2017 год


К окружности с центром в точке $O$ из точки $S$ проведены касательные $SA$ и $SB$. На окружности выбрана точка $C$, отличная от точки $A$, таким образом, что прямые $AC$ и $SO$ параллельны. Докажите, что точка $O$ лежит на прямой $BC$.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2017-05-14 23:40:37.0 #

$$BC\cap SA= R$$

$$T\in RS , BT \parallel SO $$

$$AC\parallel SO \parallel BT \Rightarrow \angle RAC =\angle RTB= \angle RSO \Rightarrow $$

$$\Rightarrow \angle TRB=\gamma \Rightarrow \angle RCA = \angle ROS= \angle RBT= 180^o- (\gamma+\alpha) \Rightarrow$$

$$ \Rightarrow \triangle RCA \sim \triangle ROS \sim \triangle RBT\Rightarrow C,O\in RB $$