Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2017 год

Решите систему уравнений в положительных числах: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2}{y^2} - xy = 2,\\ {y^2}{z^2} - 5yz = 6,\\ {x^2}{z^2} + 3xz = 18. \end{array} \right.$

Комментарий/решение

$$ xy=t>0 \Rightarrow t^2-t-2=0 \Rightarrow t=xy=2$$

$$ yz=k>0 \Rightarrow k^2-5k -6=0 \Rightarrow k=yz=6$$

$$ xz=m>0 \Rightarrow m^2 +3m-18=0 \Rightarrow m=xz=3$$

$$\left\{ \begin{gathered} xy=2\\ yz=6\\ xz=3\\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x=1, y=2, z=3$$