Республиканская олимпиада по математике, 2017 год, 10 класс


Можно ли числа $1$, $2$, $\ldots$, $2017$ разбить на три непустых множества $A$, $B$ и $C$ так, что для любых $a\in A$, $b\in B$ и $c\in C$ числа $ab+c$ и $ac+b$ не являлись точными квадратами? ( Сатылханов К. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратораКомментарии от администратора №1.     Ответ. Да, можно.
Решение. Положим $A=\{1,4,7,\ldots,2017\}$, $B=\{2,5,8,\ldots,2015\}$ и $C=\{3,6,9,\ldots,2016\}$. Тогда для любых $a \in A$, $b\in B$, $c\in C$ имеем: $a \equiv 1 \pmod 3$, $b \equiv 2 \pmod 3$ и $c \equiv 0 \pmod 3$. Тогда $ab+c \equiv ac+b \equiv 2 \pmod 3$. Но квадрат целого числа может давать только остатки 0 и 1 при делении на 3. Следовательно, числа $ab+c$ и $ac+b$ не могут быть точными квадратами.

  0
2017-03-14 19:48:50.0 #

Почему именно по модулю 3?

  0
2017-03-14 21:00:17.0 #

Возможны и другие решения и по другому модулю. Скорее всего удастся сделать по модулю 4. Главное, есть пример разбиения, и доказательство того (используя сравнение по модулю 3), что эти множества удовлетворяют условию задачи.

  0
2017-03-19 21:24:03.0 #

Также есть правильное решение по модулю 9, но его доказательство будет немного сложнее.