Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 10 класс

Найдите все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, удовлетворяющие соотношению $yf\left( \dfrac{f\left( x \right)}{y}+1 \right)=x+f\left( y \right)$ для всех $x,~y\in \mathbb{R},~y\ne 0$.

Комментарий/решение

$P(x,y): yf\left(\dfrac{f(x)}{y}+1\right)=x+f(y)$

Пусть $f(a)=f(b)$. Тогда $P(a,y)=P(b,y) \Rightarrow a+f(y)=b+f(y) \Rightarrow a=b$. Функция $f$ - инъективная.

$P(0,1): f\left(f(0)+1\right)=f(1) \Rightarrow f(0)+1=1 \Leftrightarrow f(0)=0$

$P(0,y): yf\left(1\right)=f(y)$. Значит функция $f$ - линейная (т.е. $f(x)=cx$)

$P(x,y): y\left(\dfrac{c^2x}{y}+c\right)=x+cy \Leftrightarrow c^2=1 \Rightarrow c=\pm 1$. Ответ: $f(x)=\pm x$.