Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 10 класс

Вдоль береговой линии острова, имеющего форму круга, расположены 2016 маяков. Нерадивый чиновник, изображая бурную деятельность, каждый день наудачу меняет состояние трех маяков, либо подряд расположенных, либо идущих через один (т. е. в последовательности ABABA он меняет состояние маяков A). Чиновник будет уволен, если в какой-то момент все маяки погаснут. Стоит ли ему опасаться за свое место, если он припоминает, что в какой-то момент не горел только один маяк? (Поменять состояние маяка, значит включить его, если он выключен, и наоборот.)

Комментарий/решение

Ответ: Не стоит опасаться.

Пронумеруем маяки цифрами 1, 2, 3 двигаясь по кругу. В некоторый момент времени, ровно один маяк был выключен (БОО пусть это маяк с цифрой 1). Заметим, что каждый день меняется состояние трех различных маяков (т.е. маяков 1, 2, 3). Тогда четность каждого маяка меняется на противоположный. Но изначально количество горящих маяков 1 была нечетной, а маяков 2, 3 была четной. Следовательно количество горящих маяков 1 никогда не будет равна количеству горящих маяков 2, 3. Значит все они не могут одновременно погаснуть.