Районная олимпиада, 2016-2017 учебный год, 9 класс

Найдите все пары целых чисел $\left( x,y \right),$ удовлетворяющих уравнению ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2x+xy+2y.$

Комментарий/решение

$x^2+y^2=2x+xy+2y$

$2x^2+2y^2=4x+2xy+4y$

$(x^2-2xy+y^2)+(x^2-4x+4)+(y^2-4y+4)=8$

$(x-y)^2+(x-2)^2+(y-2)^2=8$

Рассмотрим выражение $(x-2)^2$, которое не больше 8. Поэтому $|x-2|$ может принимать только одно из значении $0$, $1$ или $2$. При остальных значениях $|x-2|$ его квадрат будет не меньше 9. При этом, для каждого найденного $x$, $y$ можно будет найти решив квадратное уравнение относительно $y$. Перебирая случаи, найдет нижеуказанные ответы.

$(0;\,0),\, (0;\,2),\, (2;\,0),\, (2;\,4),\, (4;\,2),\, (4;\,4)$