1-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур, 2016 г.

На какую наибольшую степень числа 2 делится число $6^{2016}-2^{2016}$?

Комментарий/решение

6^2016=2^2016*3^2016. 3^2016 нечетное число,не делится на 2,то ответ 2^2016

не согласен, ответ будет 2017

Правильное решение:

Рассмотрим число $3^{2016}-1$. По теореме $LTE$ (одной из лемм $LTE$), $v_{2}(3^{2016}-1^{2016})=v_{2}(3-1)+v_{2}(3+1)+v_{2}(2016)-1$, так как $3, 1$ - нечетные числа, а $2016$ - четное. Отсюда имеем, что $v_{2}(3^{2016}-1^{2016})=1+2+5-1=7$, тогда

$v_2(6^{2016}-2^{2016})=v_2(2^{2016}(3^{2016}-1))=2016+7=2023$

Я думаю что 7-класс точно знает про $LTE$))

Ну конечно))

Это и есть $2^{2016}(3^{2016}-1)$ что обозначает что степень как минимум 2016.

Сравниваем $3^{2016}-1$ всего лишь по $mod 256$ и понимаем что это на 256 не делится, а по $mod 128$ делится.

Ответ:2016+7=2023

($128=2^7$)