1-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур, 2016 г.

Из набора чисел 1, 2, $\ldots$, 1000 вычеркнуты все четные числа, а также все такие числа $x$, что $1000-x$ делится на 3. Сколько чисел осталось?

Комментарий/решение

жұп сандардың саны - 500

барлық х саны - 167(жұп сандарды санамағанда)

1000-500-167=333

жауабы:333

Решение : Стираем ве четные, остаются 500 нечетных. Нам известно что $1000-x \equiv 0 \pmod {3}$

Так как $1000 \equiv 1 \pmod {3} \Rightarrow x \equiv 1 \pmod {3}$

Теперь мы пойдем от обратного: всего делителей тройки между 1 и 1000 , 332 чисел(не считая саму тройку). Из них 166 четные.

А значит всего 167(считая саму тройку) нечетных кратных трём чисел между 1 и 1000.

А чтобы сделать 1000 из всех них , нужно 167 пар.

А значит чисел всего осталось $500 - 167=333$ чисел.

233

я из 1000 чисел убрала четные, получилось 500

потом собрала числа, подходящие второму условию:

1,4,7,10,13,...,997

их всего 333

они включают в себя и четные числа, и найдя количество нечетных чисел оттуда, сложила 500 с 167

1000-667=333

ну вот...