Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2016 год

Последовательность $(a_n)$ задана условиями $a_1=0$, ${a_{n + 1}} = \dfrac{{{a_1} + {a_2} + \ldots + {a_n}}}{n} + 1.$ Докажите, что $a_{2016}>{1\over 2}+a_{1000}$. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

$$ a_{n+1}=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}+1\Rightarrow S_n=a_1+a_2+...+a_n=n(a_{n+1}-1)$$

$$ S_{n+1}-S_n=a_{n+1}=(n+1)(a_{n+2}-1)-n(a_{n+1}-1)=n\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)+a_{n+2}-1\Rightarrow$$

$$ \Rightarrow n\left(a_{n+2}-a_{n+1}\right)+a_{n+2}-a_{n+1}=1 \Rightarrow a_{n+2} =a_{n+1}+\frac{1}{n+1}$$

$$a_{2016}=a_{2015}+\frac{1}{2015}=a_{2014}+\frac{1}{2014}+\frac{1}{2015}=....=a_{1000}+\frac{1}{1000}+...+\frac{1}{2015}>\frac{1}{2}+a_{1000}$$

$$\Rightarrow \frac{1}{1000}+...+\frac{1}{2015}>\frac{1}{2}$$

$$ \frac{1}{1000}+...+\frac{1}{2015}>\frac{1}{2015}+...+\frac{1}{2015}=\frac{1016}{2015}>\frac{1}{2}$$