57-я Международная Математическая OлимпиадаГонконг, 2016 год

Пусть $P = A_1A_2\ldots A_k$ — выпуклый многоугольник на плоскости. Вершины $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_k$ имеют целые координаты и лежат на одной окружности. Обозначим через $S$ площадь многоугольника $P$. Нечётное положительное целое $n$ таково, что квадраты длин всех сторон многоугольника $P$ являются целыми числами, делящимися на $n$. Докажите, что $2S$ — целое число, делящееся на $n$.

Комментарий/решение

: Мы докажем результат только для n = pe, где p — нечетное число.

простое число и e ≥ 1. Случай k = 3 разрешается непосредственно формулой Герона: имеем

S = 1 p2(a2b2 + b2c2 + c2a2) − a4 − b4 − c4, поэтому, если pe | НОД(a2, b2, c2), то p2e | С2. 4

Теперь мы покажем, что можно выбрать диагональ и провести индукцию по k, используя инверсию.

Пусть многоугольник будет A1A2. . . Ak+1 и предположим от противного, что все стороны делятся на pe, но диагонали не делятся. Пусть O = Ak+1 для удобства обозначений. Применяя инверсию вокруг О радиусом 1, получаем «обобщенную теорему Птолемея»

A1A2 + A2A3 +···+ Ak−1Ak = A1Ak OA1 ·OA2 OA2 ·OA3 OAk−1 ·OAk OA1 ·OAk

или, используя квадратные корни,

s A1A2 s A2A2 s Ak−1A2 s A1A2 2+ 3+···+ k= k

OA21 · OA2 OA2 · OA23 OA2k−1 · OA2k OA21 · OA2k Предположим, что νp всех диагоналей строго меньше e. Тогда отношение становится

√q1 + · · · + √qk−1 = √q

где qi — положительные рациональные числа. Поскольку между квадратными корнями нет нетривиальных отношений (см. эту ссылку), существует положительное рациональное число b такое, что ri = pqi/b и r = pq/b — все рациональные числа. Затем

Х ри = р.

Однако из условия следует, что νp(qi2) > νp(q2) для всех i (проверьте это для i = 1, i = k−1

и 2 ⩽ i ⩽ k − 2), а значит, νp(ri) > νp(r). Это абсурд.

Замечание. Я думаю, что вам, по сути, придется использовать какое-то геометрическое свойство типа Птолемея, а также все известные мне правильные решения для n = pe зависят от нахождения диагонали и индукции вниз. (На самом деле случай k = 4 весьма мотивирует; Птолемей предполагает, что можно разрезать пополам.)