Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2016 год

На доске записано число $x$. За один шаг его можно заменить либо на число $2x+4$, либо на число $3x+8$, либо на число ${{x}^{2}}+5x$. Можно ли за несколько таких шагов из числа 3 получить число 2016 или число 2017. ( Кахарман Н. )

Комментарий/решение

Начинаем с конца.

$2016=2a+4$

$a=1006$,то есть из 1006 мы можем сделать 2016.Проверяем другие методы.

$2016=3b+8$

$b=669.(3)$- иррациональное число , поэтому это нам не нужно.В уравнений $с^2+5c=2016$ тоже не будет целого корня.Теперь нужно проверить можно ли сделать 1006 такими операциями.

$1006=2d+4$

$d=501$.

$3e+8=1006$

$e=332.(6)$- дробь.

$f^2+5f=1006$- тут тоже не будет целого корня.Проверяем дальше

$501=2g+4$

$g=248.5$- дробь,поэтому это не будет ответом.

$3h+8=501$

$h=164.(3)$-дробь, поэтому это нам не нужно.

$j^2+5j=501$

$D=2029$-это не квадрат целого числа, тогда сделать 2016 такими операциями невозможно.

Проверяем 2017.

$2x+4=2017$

$x=1006.5$- дробь

$3y+8=2017$

$y=669.(6)$- дробь

$z^2+5z=2017$

$D=8093$- это не квадрат целого числа, тогда 2017 невозможно сделать такими операциями.

Ответ: Невозможно