Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 8 класс

Решить уравнение: $\left [\frac{6x+5}{8}\right]=\frac{15x-7}{5}$, где через $[a]$ обозначена целая часть действительного числа $a$.

Комментарий/решение

Ответ :$x=\dfrac {7}{15} $

Решение. Число $\dfrac{15x-7}{5} \in Z $ будет целым,если $x=\dfrac{2+5m}{15};m\in Z $. То есть $\left [\dfrac{6\cdot {2+5m}}{4\cdot 15}\right ]=\dfrac {15\dfrac {2+5m}{15}}{5}$ или же $\left [\dfrac {m}{4}+\dfrac {1}{10}\right ]=m-1$.Равенство выполнится в случае $m=1$. Если $m>1$,то правая сторона больше. Если $m <1$,то правая сторона меньше

А ответ $x= \frac{12}{15}$ ?

Решим немного по другому. Данное решение навеяно методом "дихотомия" для численного решения уравнений.

1)Локализуем корень. Для этого выпишем цепочку неравенств

$$\dfrac{6x+5}{8} -1< \left[\dfrac{6x+5}{8}\right]\le \dfrac{6x+5}{8}$$.

2)Корни уравнения $\left [\dfrac{6x+5}{8}\right]=\dfrac{15x-7}{5}$ , будут находиться между корнями уравнений $\dfrac{6x+5}{8} -1 =\dfrac{15x-7}{5} $ и $\dfrac{6x+5}{8} =\dfrac{15x-7}{5} $

3)Решим уравнения (2)

$$\dfrac{6x+5}{8} -1 =\dfrac{15x-7}{5}\Rightarrow \dfrac{6x+5-8}{8} =\dfrac{15x-7}{5}\Rightarrow 5\cdot(6x-3)=8\cdot(15x-7)\Rightarrow x=\dfrac{41}{90}$$

$$\dfrac{6x+5}{8}=\dfrac{15x-7}{5}\Rightarrow 5\cdot(6x+5)=8\cdot(15x-7)\Rightarrow x=\dfrac{9}{10}$$

4)Проверим, какие целые значения могут получиться в левой части исходного уравнения (с квадратными скобочками) при $\dfrac{41}{90}\le x \le\dfrac{9}{10}$

$$\dfrac{6\cdot \dfrac{41}{90}+5}{8} =0.9(6)\Rightarrow \left[\dfrac{6\cdot \dfrac{41}{90}+5}{8}\right]=0$$

$$\dfrac{6\cdot \dfrac{9}{10}+5}{8} =1.3\Rightarrow \left[\dfrac{6\cdot \dfrac{41}{90}+5}{8}\right]=1$$

5)В пункте (4) локализовали левую часть - она может быть равна только 0 или 1. Решаем уравнения $0=\dfrac{15x-7}{5}$ и $1=\dfrac{15x-7}{5}$

Получаем как раз $x=7/15$ и $x=12/15$