Районная олимпиада, 2003-2004 учебный год, 9 класс

Разложите на множители: а) $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$; б) $x^{2003} + x+ 1$.

Комментарий/решение

a) $x^3+6x^2+11x+6=x^3+x^2+5x^2+5x+6x+6=x^2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)=$

$=(x+1)(x^2+5x+6)=(x+1)(x+2)(x+3)$.

б) $x^{2003}+x+1=x^{2003}-x^2+x^2+x+1=x^2(x^{2001}-1)+x^2+x+1=x^2((x^3)^{667}-1^{667})+x^2+x+1=x^2*(x-1)(x^2+x+1) \cdot A+x^2+x+1=(x^2+x+1)(x^2*(x-1)*A+1)$