Математикадан республикалық олимпиада, 2015-2016 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ үшбұрышында ең үлкен $C$ бұрышынан $CH$ биіктігі түсірілген. $HM$ және $HN$ — сәйкесінше $ACH$ және $BCH$ үшбұрыштарының биіктіктері, ал $HP$ және $HQ$ — сәйкесінше $AMH$ және $BNH$ үшбұрыштарының биссектрисалары. $R$ нүктесі — $H$ нүктесінен $PQ$ түзуіне түсірілген перпендикуляр табаны. $R$ нүктесі — $MNH$ үшбұрышының биссектрисаларының қиылысу нүктесі екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Заметим, что $\angle CHM = \angle HAC$. Обозначим эти углы через $\alpha$. Тогда в треугольнике $AHP$ внешний угол при вершине $P$ состоит из угла $\alpha$ и половины угла $AHM$, и угол $\angle CHP$ состоит из тех же углов. Следовательно, $\angle CHP = \angle CPH$ или $CH=CP$. Аналогично $CH=CQ$. Значит, можно провести окружность с центром в точке $C$ радиусом $CH$. Из того, что четырехугольник $CMHN$ вписанный и точки $P$, $M$, $R$ и $H$ лежат на одной окружности с диаметром $PH$, следует, что $\angle RMH = \angle RPH = \angle NCH/2 = \angle NMH$. Следовательно, угол $RMH$ в два раза меньше угла $NMH$, то есть $MR$ делит угол $NMH$ пополам. Аналогично, $NR$ делит угол $MNH$ пополам, то есть $R$ — точка пересечения биссектрис треугольника $MNH$.