Городская Жаутыковская олимпиада, 8 класс, 2015 год

В некотором числе переставили цифры и получилось в три раза меньшее число. Докажите, что исходное число делилось на 27.

Комментарий/решение

Лемма:остаток числа на 3 (или 9) равно остатку сумме цифр этого числа на 3 (или 9).

Пусть исходное число $A$ , и перестановка чисел этого числа $B$ . Тогда $А$ делится на 3 (так как $A=3B$ ). И $B$ делится на 3 (так как сумма цифр чисел $A$ и $B$ равно). Тогда $A$ делится на 9. И $B$ делится на 9. Так как$A=3B$ $A$ делится на 27.