Областная олимпиада по математике, 2016 год, 10 класс

Найдите все такие четверки целых чисел $\left(a,b,c,d\right)$, что $2a^2+2c^2+2ac+3b^2+3d^2=6bd+11$ и $a\geq b\geq c \geq d$.

Комментарий/решение

$2a^2+2c^2+2ac+3b^2+3d^2=6bd+11$ что то же самое $(a+c)^2+a^2+c^2+3(b-d)^2=11$

все слагаемые положительные , так как все числа целые значит $a+c \geq 3$ , $b-d \geq 1$

Откуда всего два варианта

1)$b-d=1$ , $b=1,d=0$ , тогда $a=2,c=0$ или $a=2, c=-2$ то есть решением являются числа (из неравенства)

$a=2,b=1,c=0,d=0$

$a=2,b=0,c=0,d=-1$

$a=2,b=-2,c=-2,d=-3$

$a=2,b=-1,c=-2,d=-2$

2)$b=d$ очевидно не имеет решения

Ответ: $(2,-1,-2,-2), (2,-2,-2,-3), (2,1,0,0), (2,0,0,-1), (0,-1,-2,-2), (0,-2,-2,-3)$.

Решение. Если $b=d$, то исходное уравнение примет вид $2a^2+2c^2+2ac=11$, то есть слева четное число, справа нечетное. Противоречие.

Перепишем в виде $(a+c)^2+a^2+c^2+3(b-d)^2=11$.

Если $b-d \geq 2$, то левая часть будет не меньше 12, также, противоречие. Поэтому $b-d=1$. Тогда, с учетом $b-d=1$, уравнение примет вид $(a+c)^2+a^2+c^2=8$, то есть $|a+c|≤2$.

Перепишем еще раз в виде $(a+c)^2-ac=4.\ |a+c|=0=>ac=-4,a=-c=>a=2,c=-2$, что дает два варианта для $b$ и $d$.

$|a+c|=1=>ac=-3$, что не дает решений. $|a+c|=2=>ac=0=>(a,c)=(2,0)$ или $(0,-2)$, каждый из которых дает по два варианта для $b$ и $d$.