Областная олимпиада по математике, 2016 год, 9 класс

Докажите, что для любых неотрицательных действительных чисел $x$, $y$ и $z$ справедливо неравенство $\sqrt {2{x^2} + 3{y^2} + 4{z^2}} + \sqrt {3{x^2} + 4{y^2} + 2{z^2}} + \sqrt {4{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \ge $ ${\left( {\sqrt x + \sqrt y + \sqrt z } \right)^2}$

Комментарий/решение

По неравенству Коши Буняковского имеем: $\sqrt{2+3+4}\cdot \sqrt{2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}}\ge \left( 2x+3y+4z \right),$ то есть $\sqrt{2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}}\ge \dfrac{2x+3y+4z}{3}.$

Аналогично, получим неравенства $\sqrt{3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}}\ge \dfrac{3x+4y+2z}{3}$ и $\sqrt{4{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}}\ge \dfrac{4x+2y+3z}{3}.$

Просуммировав каждое слагаемое, используя выше написанными неравенствами, получим

$\sqrt{2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}}+\sqrt{3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}}+\sqrt{4{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}}\ge 3(x+y+z),$ но свою очередь верно $3(x+y+z) \geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2$ , которое следует также из неравенства Коши Буняковского.