Районная олимпиада, 2015-2016 учебный год, 9 класс

Докажите, что $a=\sqrt{9-\sqrt{77}}\sqrt{2}\left( \sqrt{11}-\sqrt{7} \right)\left( 9+\sqrt{77} \right)$ — целое число.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Заметим, что \[ \sqrt {9 - \sqrt {77} } \cdot \sqrt{2} = \sqrt {18 - 2 \sqrt {11} \cdot \sqrt 7 } = \sqrt {{{\left( {\sqrt {11}- \sqrt {7} } \right)}^2}} = \sqrt {11} - \sqrt {7} .\] Тогда исходное выражение равно \[a = {\left( {\sqrt {11} - \sqrt 7 } \right)^2}\left( {9 + \sqrt {77} } \right) = \left( {18 - 2\sqrt {77} } \right)\left( {9 + \sqrt {77} } \right) = \] \[ = 2\left( {9 - \sqrt {77} } \right)\left( {9 + \sqrt {77} } \right) = 2\left( {81 - 77} \right) = 8.\]