Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 11 класс

На сторонах $AB$ и $BC$ прямоугольника $ABCD$ выбраны соответственно точки $X$ и $Y$ так, что площади треугольников $AXD$, $BXY$ и $DYC$ соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь треугольника $DXY$.

Комментарий/решение

Получим

$AD \cdot AX=10$

$BY \cdot BX=8$

$(AD-BY) \cdot (AX+BX)=6$

Выражая из первых двух соответственные стороны , подставляя в третье , получаем $(\dfrac{10}{AX}-BY) \cdot (AX+\dfrac{8}{BY})=6$

$AX\cdot BY=x$ , получим $\dfrac{80}{x}-x=4$ , решая уравнение находим $x= 2(\sqrt{21}-1)$

Тогда площадь $S_{DXY} = S_{ABCD}-(5+4+3) = AD \cdot (AX+BX)-12= 2+x = 2\sqrt{21}$