қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2015 год
В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $O$ — центр описанной окружности.
Оказалось, что $R-r=OM$. Биссектриса внешнего угла при вершине $A$ пересекает
прямую $BC$ в точке $D$, а биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает
прямую $AB$ в точке $E$. Найдите все возможные значения угла $CED$.
(
Д. Ширяев
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
в обычных обозначениях пусть $AB=c,CA=b,AC=b$.
Имеем $(R-r)^2+\frac{c^2}{4}=R^2\Rightarrow (a+b-2c)((a-b)^2+ac+bc)=0\Rightarrow c=\ фрак{а+b}{2}$.
Предположим, что внутренняя биссектриса $\angle{BAC}$ и $\angle{ACB}$ пересекает противоположную сторону в точках $F$ и $G$ соответственно.
Боковой удар дает нам $\frac{BE}{BG}=\frac{BD}{DC}$, поэтому $DE\parallel CG$ и $\angle{CED}=\angle{ECG}=90^{\circ }$.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.