Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 10 класс

Для любых натуральных чисел $m, n >1$ докажите неравенство $$ \frac{1} {{\root m \of {1 + n} }} + \frac{1} {{\root n \of {1 + m} }} > 1. $$

Комментарий/решение

Так как $n,m>1$, то будет выплоняться строгое неравенство по $A.M.\ge G.M$.:

$\frac{m+n}{m}=\frac{(n+1)+(m-1)}{m}=\frac{(n+1)+(1+1+...+1)}{m}=\frac{(n+1)+\underbrace{1+1+...+1}_{m-1}}{m}>\sqrt[m]{n+1}$, из чего следует, что $\frac{1}{\sqrt[m]{n+1}}>\frac{1}{\frac{m+n}{m}}=\frac{m}{m+n}$.

Аналогично получаем $\frac{1}{\sqrt[n]{m+1}}>\frac{n}{m+n}$. Сложив эти два неравенства, получаем требуемое.