Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 10 класс

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна 1. Найдите площадь пятиугольника.

Комментарий/решение

Пусть $ABCDE$ - наш пятиугольник и $AD\cap EC=K$.

$S(AED)=S(CDE)=1$, следовательно, $S(EDK)=x$ и $S(AEK)=S(CDK)=1-x$, $(x<1)$.

Из последнего равенства следует, что $EK*AK=DK*CK$, то есть $\frac{EK}{CK}=\frac{DK}{AK} (1) =>ED\parallel AC$

Аналогично, $AB\parallel EC$ и $BC\parallel AD$, то есть $ABCK$ - параллелограмм и $S(AKC)=S(ABC)=1$

Из (1) получаем, что

$S(AEK)^2=S(EDK)*S(AKC)$

$(1-x)^2=1*x$

$x^2-3x+1=0$

$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}>1$, что невозможно.

$x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}=>S(ABCDE)=4-x_2=\frac{5+\sqrt{5}}{2}$