Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 9 класс

Докажите, что число $11 \ldots 1122 \ldots 22$, состоящее из 100 единиц и 100 двоек, есть произведение двух последовательных целых чисел.

Комментарий/решение

Число $11...1122...22$ можно записать как $ \dfrac{(10^{100}+2)(10^{100}-1)}{9} $ после преобразовании , положим что два последовательных числа , есть $y(y+1)$ решим уравнение $y(y+1) = \dfrac{(x+2)(x-1)}{9}$, откуда $y=\dfrac{x-1}{3} $ , но $x=10^{100}$ , значит два последовательных числа есть числа $333333...3 \cdot 33333333....34$ .

Решение:

Последовательные числа выражаются в виде

(X+1)(x)=x²+x

(где х-число стоящее до последующего)

Далее попробуем уменьшить количество чисел до двухзначного числа,получаем число 12

12=x²+x,получаем x=3

12:3=4. 4-последующее число после 3

33×34=1122

333×334=111222

И т.д

Тогда

(3×111.....n единиц)×((3×111...n единиц)+1)=11111111(n единиц)....222222(n двоек)

Доказано =)