Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 8 класс

Для любых вещественных чисел $a, b, c$ докажите неравенство $ab + bc + ac \leq a^2 + b^2 + c^2 .$

Комментарий/решение

Неравенство Коши:

$$\left\{ \begin{gathered} \frac {a+b}{2}\geq \sqrt {ab},\\ \frac {a+c}{2}\geq \sqrt {ac}, \\ \frac {c+b}{2} \geq \sqrt {bc}. \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow $$

$$\left\{ \begin{gathered} \frac {a^2+b^2}{2} \geq ab,\\  \frac {a^2+c^2}{2}\geq ac, \\ \frac {b^2+c^2}{2} \geq bc\\ \end{gathered} \right.$$

$$a^2+b^2+c^2\geq \frac{a^2+b^2}{2}+ \frac {b^2+c^2}{2}+ \frac {a^2+c^2}{2}\geq ab+bc+ac$$

$$a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2\geq 0$$