Районная олимпиада, 2004-2005 учебный год, 8 класс

Числа $2^{2004}$ и $5^{2004}$ выписаны одно за другим. Сколько всего цифр выписано?

Комментарий/решение

$2^1=2, 5^1=5 \Rightarrow 25 \text{ мұнда 1+1=2 цифр}\\ 2^2=4, 5^2=25 \Rightarrow 425\text{ мұнда 1+2=3 цифр} \\ 2^3=8, 5^3=125 \Rightarrow 8125\text{ мұнда 1+3=4 цифр} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\\2^{2004} \text{ және } 5^{2004} \Rightarrow \text{ мұнда 1+2004=2015 цифр} \\ \text{Жауабы: 2005 цифр.}$

$\text{Мұнда арифметикалық прогрессия құрайды} \\ 2^1=2, 5^1=5 \Rightarrow 25, a_1=2 \\ 2^2=4, 5^2=25 \Rightarrow 425, a_2=3\\ 2^3=8, 5^3=125 \Rightarrow 8125, a_3=4\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\\ d=a_2-a_1=3-2=1 \\ a_{2004}= a_1+2003 \cdot 1 = 2+2003=2005\\ $

$2^1 \cdot 5^1=10^1 \Rightarrow 2\\ 2^2 \cdot 5^2=10^2 \Rightarrow 3\\ 2^3 \cdot 5^3=10^3 \Rightarrow 4\\ \cdots \cdots \cdots \\ 2^{2004} \cdot 5^{2004}=10^{2004} \Rightarrow 2005 \\ \text{Жауабы: 2005 цифр болады.}\\$

Бұл заңдылық қайдан шыққанын дәлелдеу керек сияқты ғой.

Пусть $m$ и $n$ – количество цифр в числах $2^{2004}$ и $5^{2004}$, соответсвенно. Тогда $10^{m–1} < 2^{2004}< 10^m$ ; $10^{n–1} < 5^{2004} < 10^n$. Отсюда $10^{m+n–2} < 10^{2004}< 10^{m+n}$, следовательно,

m + n = 2005.