Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2003 жыл

1-ден 1000000-ға дейінгі аралықта қандай сандар көп: бүтін $x$ пен $y$ үшін, $2{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}$ түріндегі сандар немесе $10xy-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}$ түріндегі сандар?

Комментарий/решение

Заметим что, $10xy-x^2-y^2=2(x+y)^2-3(x-y)^2$. Если число представимо в виде $10xy-x^2-y^2$, то

число представимо и в виде $2x^2-3y^2$. Но $6=2*3^2-3*2^2$ и $10xy-x^2-y^2=8xy-(x-y)^2 \equiv 0,3 \pmod{4}$. Поэтому числа представимые в виде $2x^2-3y^2$ больше.