Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 11 класс

Для любого вещественного числа x докажите неравенство $x^8-x^5+x^2-x+1>0.$

Комментарий/решение

Кері жору әдісін қолданайық: $$ \forall x \in R: f(x)=x^8-x^5+x^2-x+1\leq 0, \qquad (1)$$

Бұл теңсіздік аргументтің кез келген мәнінде орындалады. Демек $f(-x)\leq0$ теңсіздігі үшін де орынды:

$$ f(-x)=x^8+x^5+x^2+x+1\leq0, \qquad (2)$$

$(1)$ және $(2)$ теңсіздіктерін өзара мүшелеп қоссақ:

$$ f(x)+f(-x)=2(x^8+x^2+1)\leq0$$

$x^8 \geq 0, \quad x^2\geq 0$ екенін ескеретін болсақ, $f(-x)+f(x)\leq0$ болуы мүмкін емес. Қарама-қайшылық. Демек, бұл теңсіздік аргументтің кез келген мәнінде орындалады.

$$x^8+x^2\geq 2x^5>x^5\Rightarrow x^8-x^5+x^2>0$$

$$ x^2+1\geq 2x >x\Rightarrow x^2-x+1>0$$

$$x^8-x^5+2x^2-x+1=x^8-x^5+x^2-x+1+x^2>0$$

$$x^8-x^5+x^2-x+1>0$$

$$f(x)=x^8-2\cdot \frac{x^5}{2} +\frac{x^2}{4}+\frac{x^2}{4}-2\frac{x}{2}+1+\frac{x^2}{2}=$$ $$=\left( x^4-0,5x\right)^2+\left(0,5x-1\right)^2+0,5x^2\geq 0$$

$$x^4-0,5x=0,5x-1=x=0 \Rightarrow x_1=0,x_2=\sqrt[3]{0,5},x_3=2$$

$$f(x_i)\ne 0, \quad i=1,2,3$$

$$ f(x)>0$$

$$ x=0 \Rightarrow f(0)=1>0$$

$$ x \ne 0 \Rightarrow \frac{f(x)}{x^2}=x^6-x^3+x^{-2}-x^{-1}+1=$$ $$=(x^3-0,5)^2+(x^{-1}-0,5)^2+0,5=h(x)>0$$

Егер $x\geq 1$ болса, онда

$x^5(x^3-1)+x(x-1)+1>0$. Себебі әр көбейткіш таңбасы теріс емес.

Егер $x\leq 0$ болсын. Онда келесі мәнді қоямыз. $x=-a$ ($a\geq 0$)

Сонда $a^8+a^5+a^2+a+1>0$ теңсіздігінен ақиқат теңсіздік шығады.

Егер $x\in (0;1)$ болсын.

Теңсіздікті келесідей түрлендіріп жазамыз $x^2(x^6-x^3+1)+(1-x)>0$

$x^2((x^3-0,5)^2+0,75)+(1-x)>0$

Әр жақшаның ішіндегі өрнек және көбейткіштер оң мән қабылдайды. д.к.о.