Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 11 класс

В ромбе $ABCD$ угол $\angle B=60^\circ $. Внутри ромба выбрана точка $P$ такая, что $\angle APC=120^\circ $, $BP=3$ и $DP=2$. Найдите разность длин отрезков $AP$ и $CP$.

Комментарий/решение

Так как точка $P$ находится внутри ромба, то около четырехугольника $CBAP$ можно описать, следует из суммы противоположных углов окружность. То есть точка $P$ находится на окружности описанной около правильного треугольника $ \Delta ABC$. Опишем так же около треугольника $\Delta ADC$ окружность , обе эти окружности равны , так как исходный четырехугольник - Ромб , выберем на этой окружности (окружность $O_{ADC}$) такую точку $P'$ которая симметрична $P$. Получим что параллелограмм $APCP'$ тогда $PD=BP'$ положим что $X$ - $AP \cap P'D$ тогда треугольник $ \Delta ADX$ равен $ \Delta APC$. Тогда $b=DX=AP=BP-CP=3-CP$ и $PX=CP-AP = 2b-3$ , тогда по теореме косинусов

$2^2 = (2b-3)^2 + (3-b)^2-2 \cdot (2b-3)(3-b) \cdot cos(120^{\circ})$ , откуда получаем $PX=CP-AP = \sqrt{ \dfrac{7}{3} } $