Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2001 год

Можно ли так расставить целые числа в клетках бесконечного клетчатого листа, чтобы каждое целое число встречалось хотя бы в одной клетке, а сумма любых 10 чисел, стоящих подряд по вертикали или по горизонтали, делилась бы на 101? ( А.Я.Канель-Белов )

Комментарий/решение

Решение: заметим что если в начале заполнить квадрат 10*10, то в нем встретятся максимум 100 чисел которые дают разные остатки по модулю 101. При этом если взять 2 строки или 2 столбца, отличающихся одним числом, то есть они пересекаются на 9 чисел, если оба делятся на 101, то те 2 числа не входившие в пересечении должны быть равны по мод 101. А значит, если мы задали таблицу 10*10, то мы узнаем что дают по мод 101 другие числа. То есть например, угловая верхняя левая клетка такая же по мод 101 как и клетка правее угловую верхней правой клетки и такая же по мод 101 как и клетка ниже угловой нижней левой. Но тогда встретятся не все числа так как максимум 100 различных по мод 101. Отсюда такого быть не могло. Доказано.