Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2001 год

16 шахматистов провели между собой турнир: каждые два шахматиста сыграли ровно одну партию. За победу в партии давался 1 балл, за ничью — 0,5 балла, за поражение — 0 баллов. Оказалось, что ровно 15 шахматистов поделили первое место. Сколько очков мог набрать шестнадцатый шахматист? ( Ю. Лифшиц )

Комментарий/решение

пусть первые 15 шахматистов набрали по x очков а последний набрал y очков (x>y),партий было сыграно 16*7,5=8*15, значит 15x+y=8*15 следовательно $15a\leq8*15$ и 16x>15x+y таким образом 7,5<x$\leq8$ и получаем x=8 и y=0

значит последний игрок набрал 0 очков

Әрбір шахматшыны графтың төбесі ретінде қойсақ $16$ төбеден тұратын толық граф болады. $n$ төбесі бар толық графтың $\frac{n(n-1)}{2}$ қабырғасы болады. Сонда барлығы $\frac{16*(16-1)}{2}=120$ ойын болған. Барлығы $1*120=120$ ұпай ойнатылған. Әрбір шахматшы $15$ ойын ойнаған.

Егер бір айналымды турнирде бір ойыншыдан басқа ойыншылар бірдей ұпай жинаған болса, бұл жағдайда сол бір ойыншы қалған барлық ойыншыны жеңген болады немесе қалған барлық ойыншыдан жеңілген болады. Біздің жағдайда $15$ ойыншы бірдей ұпай жинаған және $16$ ойыншы соңғы орында. Демек $16$-шы ойыншы басқа $15$ ойыншыдан жеңілген. Онда $16$-шы ойыншы ұпай алмаған. Қалған $15$ ойыншы $120$ ұпайды теңдей бөліп алады. $120:15=8.$ $15$ ойыншының әрқайсысы $8$ ұпайдан жинаған.