Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 11 класс

Найдите все функции $f(x)=ax^2+bx+c$, для которых существует непустой интервал $(g,h)$ такой, что $f(x)f(x-1)<0$ и $f(x)f(x+1)<0$ для любого $x\in (g,h)$.

Комментарий/решение

$a>0$ болсын. ($a<0$ жағдайы осыған ұқсас).

Айталық $ax^2+bx+c>0$ болсын. $ax^2+bx+c<0$ аналогично. Сонда келесі үш теңсіздіктің шешімін қиылыстырамыз

$ax^2+bx+c>0$

$a(x-1)^2+b(x-1)+c<0$

$a(x+1)^2+b(x+1)+c<0$.

Әр теңсіздіктің шешімі сәйкесінше келесідей болады

$(-\infty;g)U(h;+\infty)$

$(g-1;h-1)$

$(g+1;h+1)$.

Ал бұл аралықтардың ортақ шешімі табылмайды. Яғни $f(x)=ax^2+bx+c$ функциясы табылмайды