Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2001 год

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ лучи $DA$ и $CB$ пересекаются в точке $Q$, а лучи $BA$ и $CD$ — в точке $P$. Оказалось, что $\angle AQB=\angle APD$. Биссектриса угла $\angle AQB$ пересекает стороны $AB$ и $CD$ четырехугольника в точках $X$ и $Y$ соответственно, а биссектриса $\angle APD$ пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $Z$ и $T$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ZQT$ и $XPY$ пересекаются в точке $K$ внутри четырехугольника. Докажите, что $K$ лежит на диагонали $AC$. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

$$ \angle AQB= \angle APD=2\alpha$$

$$1) \quad \angle AQX = \angle APZ=\alpha, \quad \angle XAQ=\angle ZAP \Rightarrow \triangle AQX \sim \triangle APZ$$

$$ 2) \quad \triangle AQX \sim \triangle APZ \Rightarrow \frac{AQ}{AX}=\frac{AP}{AZ} \Rightarrow AQ \cdot AZ=AX \cdot AP$$

$$3) \quad \begin{cases} AQ \cdot AZ=(R_1-AO_1)(R_1+AO_1)=R_1^2-AO_1^2=-\deg_A \omega(R_1, \triangle ZQT) \\ AP \cdot AX=(R_2-AO_2)(R_2+AO_2)=R_2^2-AO_2^2=-\deg_A \omega(R_2, \triangle XPY)\end{cases}\Rightarrow $$

$$ \Rightarrow \deg_A \omega(R_1, \triangle ZQT)=\deg_A \omega(R_2, \triangle XPY)\Rightarrow A\in radialaxis(\omega(R_1, \triangle ZQT) ,\omega(R_2, \triangle XPY))$$

$$\Rightarrow C,K \in radialaxis(\omega(R_1, \triangle ZQT) ,\omega(R_2, \triangle XPY)), \quad \omega(R_1, \triangle ZQT) \cap \omega(R_2, \triangle XPY)=K\Rightarrow$$

$$ \Rightarrow A,C,K \in radialaxis(\omega(R_1, \triangle ZQT) ,\omega(R_2, \triangle XPY)) \Rightarrow K \in AC$$