Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 11 класс

Найдите все натуральные числа $n$ такие, что число $n^2+n+5$ является полным квадратом.

Комментарий/решение

b_Ответ: $n=4$._b

Если $n^2+n+5$ является квадратом, то $4(n^2+n+5)$ так же является квадратом, тогда:

$4(n^2+n+5)=a^2$

$(2n+1)^2+19=a^2$

$a^2-(2n+1)^2=19$

$(a-2n-1)(a+2n+1)=1 \cdot 19$

$\left\{ \begin{array}{l} a-2n-1=1, \\ a+2n+1 = 19. \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} a=10, \\ n=4. \end{array} \right.$

Берілген өрнекті келесі түрге келтіреміз

$n^2+2\cdot n\cdot\frac{k}{2}+(\frac{k}{2})^2$. Сонда берілген өрнек келесі түрге келеді

$n^2+2n\cdot\frac{k}{2}+n+5-nk$

Қысқаша көбейту формуласы бойынша $(\frac{k}{2})^2=n+5-kn$ болатыны айқын. Ортақ бөлімге келтіріп, түрлендірулер жүргізіп келесі теңдіктерді аламыз

$k^2+4kn-4n=20$

$k^2-1+4n(k-1)=19$

$(k-1)(k+1)+4n(k-1)=19$

$(k-1)(k+1+4n)=19=1\cdot19=19\cdot1=-1\cdot(-19)=-19\cdot(-1)$

Осы теңдеудің барлық мүмкін жағдайларын қарастырып $n=4$ екенін аламыз