Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2000 год

Докажите для действительных чисел $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, $0 < x_k \leq {1\over 2}$, неравенство $$ \left( {n \over x_1 + \dots + x_n} - 1 \right)^n \leq \left( {1 \over x_1} - 1 \right) \dots \left( {1 \over x_n} - 1 \right). $$

Комментарий/решение

Это неравенство эквивалентно $f(\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n})\leq \frac{f(x_{1})+f(x_ {2})+...+f(x_{n})}{n}$, здесь $f(x)=\ln (\frac{1}{x}-1) (0<x<1) $.

Имеем $f'(x)=-\frac{1}{x(1-x)}$ и $f''(x)=\frac{1-2x}{x^{2}(1-x )^{2}}\geq 0 \; \forall x\in (0,\frac{1}{2}]$. По теореме Йенсена все готово!