Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2000 год

Вписанная в ромб окружность касается его сторон $AB$ и $BC$ в точках $E'$ и $F'$. Касательная $l$ пересекает $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Докажите, что произведение $AE\cdot CF$ не зависит от выбора касательной $l$.

Комментарий/решение

Пусть $O \in AC \cap BD $ и $H$ точка симметричная $E$ относительно $BO$, получается $\angle EOF = 180^{\circ} - \dfrac{\angle FEA}{2} - \dfrac{ \angle EFC}{2} = 90^{\circ} - \dfrac{ \angle EBH }{2}$ то есть $FHOE$ вписанная в $\omega$ и так как $AB=BC$ тогда $AO$ касательная к $\omega$ значит $BO^2 = CH \cdot CF = AE \cdot CF$ то есть не зависит от выбора касательной.