Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2015 год

Пусть дан треугольник $ABC$, $BC < AB$. Пусть $E$, $D$ середины отрезков $BA$, $AC$ соответственно. На луче $DE$ выбрана точка $F$ так, что $DF=2DE$. Докажите, что $2FA_1 < AB+BC+CA$, где $A_1$ — произвольная точка отрезка $BC$.

Комментарий/решение

Из неравенства треугольников , получим из $\Delta DFC$ , $AC+4DE>2FC>2FA_{1}$, докажем что $CA+AB+AC=2DE+AB+AC>AC+4DE>2FC>2FA_{1}$ , $AB>2DE=BC$ , что согласуется с условием $BC<AB$