Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 9 класс

Треугольник $ABC$ имеет $\angle B=60^\circ $, $\angle C=90^\circ $ и $AB=1$. Треугольники $BCP$, $CAQ$ и $ABR$ — равносторонние, внешние к $ABC$. Отрезки $QR$ и $AB$ пересекаются в точке $T$. Найдите площадь треугольника $PRT$.

Комментарий/решение

Из того что $ \angle B=60^{\circ}$ получаем что точки $R,B,P$ лежат на одной прямой , $\angle CAR = \angle QAT = \angle C = 90^{\circ}$ , заметим что $QT=TR$ так как $AR \cdot sin60^{\circ} = AQ$ .

Проведя прямую $l$ перпендикулярную из точки $Q$ на сторону $AC$ , получим что она будет делит пополам стороны $AB=BR$ , значит $QE=AB $ где $ E \in l \cap AB$ , $F \in \cap l BR$ , тогда $QF = 1+\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ а так же $FR = \dfrac{1}{2}$ и $QR = \dfrac{\sqrt{13}}{2}$. Найдем $RT = \dfrac{QR}{2} = \dfrac{\sqrt{13}}{4} $ и найдем угол $QRP$ , из треугольника $QFR$ получим $\dfrac{\dfrac{3}{2}}{sin \angle QRT } = \dfrac{\dfrac{\sqrt{13}}{2}}{sin 120^{\circ}}$ , или $sin \angle QRT = \dfrac{3 \sqrt{\dfrac{3}{13}}}{2}$ , откуда $S_{PRT} = \dfrac{RT \cdot PR}{2} \cdot sin \angle QRT = \dfrac{9\sqrt{3}}{32}$ .