56-я Международная Математическая OлимпиадаТаиланд, Чиангмай, 2015 год

Пусть $\Omega $ — окружность, описанная около треугольника $ABC$, а точка $O$ — ее центр. Окружность $\Gamma $ с центром $A$ пересекает отрезок $BC$ в точках $D$ и $E$ так, что точки $B$, $D$, $E$ и $C$ все различны и лежат на прямой $BC$ в указанном порядке. Пусть $F$ и $G$ — точки пересечения окружностей $\Gamma $ и $\Omega $, при этом точки $A$, $F$, $B$, $C$ и $G$ лежат на $\Omega $ в указанном порядке. Пусть $K$ — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника $BDF$ и отрезка $AB$. Пусть $L$ — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника $CGE$, и отрезка $CA$. Пусть прямые $FK$ и $GL$ различны и пересекаются в точке $X$. Докажите, что точка $X$ лежит на прямой $AO$.

Комментарий/решение

$F$ и $G$ - точки пересечения $\Omega $ и $\Gamma$, значит $FG \bot AO$ (так как $FG$ - их рад. ось, а $AO$ - линия центров).

Тогда, $(!) X \in AO \Leftrightarrow (!) FX = GX \Leftrightarrow (!) \measuredangle GFX = \measuredangle XGF = \measuredangle GFK = \measuredangle LGF$ ($\measuredangle ABC$ - ориентированный угол ABC).

Пусть $\measuredangle GFK = \alpha, \measuredangle LGF = \gamma, \measuredangle DFG = \beta, \measuredangle FGE = \omega , \measuredangle GFA = \measuredangle AGF = \theta.$

$(!) \alpha = \gamma$

Тогда справедливы следующие равенства:

$\measuredangle LGE = \measuredangle LGF + \measuredangle FGE = \gamma + \omega = \measuredangle LCE \Rightarrow \measuredangle GCE = \measuredangle GCA + \measuredangle LCE = \theta + \gamma +\omega = \measuredangle GCB$.

$\measuredangle DFK = \measuredangle DFG + \measuredangle GFK = \beta + \alpha = \measuredangle DBK \Rightarrow \measuredangle DBF = \measuredangle DBK + \measuredangle KBF = \alpha + \beta + \theta$

$\measuredangle DFG = \beta = \measuredangle DEG = \measuredangle CEG \Rightarrow \measuredangle CEG + \measuredangle EGC + \measuredangle GCE \Rightarrow \measuredangle EGC = -\beta - \theta - \gamma - \omega \Leftrightarrow \measuredangle CGE = \beta + \theta + \gamma + \omega. \Rightarrow \measuredangle CGF = \measuredangle CGE + \measuredangle EGF = \beta + \theta + \gamma + \omega - \omega = \beta + \gamma + \theta$.

Но так как $FGCB$ вписанный, $\measuredangle CGF = \measuredangle CBF = \measuredangle DBF \Leftrightarrow \alpha + \beta + \theta = \beta + \theta + \gamma \Rightarrow \alpha = \gamma$.

Что и требовалось доказать.

https://imgur.com/a/uGwNmdx - чертеж