56-я Международная Математическая OлимпиадаТаиланд, Чиангмай, 2015 год

Конечное множество $S$ точек на плоскости будем называть сбалансированным, если для любых различных точек $A$ и $B$ из множества $S$ найдется точка $C$ из множества $S$ такая, что $AC=BC$. Множество $S$ будем называть эксцентричным, если для любых трех различных точек $A$, $B$ и $C$ из множества $S$ не существует точки $P$ из множества $S$ такой, что $PA=PB=PC$.
(а) Докажите, что для любого целого $n\ge 3$ существует сбалансированное множество, состоящее из $n$ точек.
(б) Найдите все целые $n\ge 3$, для которых существует сбалансированное эксцентричное множество, состоящее из $n$ точек.

Комментарий/решение

Решение:

В обоих пунктах для нечетных $n$ подходит правильный $n-$угольник. Далее будем рассматривать только четные $n.$

$(a)$ Рассмотрим единичный ромб $ABCO,$ где $\angle AOC=120.$

Далее рассмотрим единичные правильные треугольники $OX_{2i-1}X_{2i},$ для $i=1,…,\frac{n-4}{2}.$

Все получившиеся точки, кроме $O$, лежат на единичной окружности с центром в точке $O.$ Легко проверить, что данный пример подходит.

$(b)$ Допустим для четного $n$ существует нужная конфигурация.

Количество пар точек из этого множества равно $\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2},$ при чем для каждой из этих пар существует другая точка из данного множества, что $CA=CB.$ Ясно, что некоторая точка $O$ будет лежать искомым образом для $\frac n 2$ пар точек. У нас всего $n$ точек, поэтому какие-то две пары точек будут иметь одну общую точку, но тогда $OA=OB=OC,$ противоречие.