54-я Международная Математическая OлимпиадаКолумбия, Санта Марта, 2013 год

Пусть $H$ — точка пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$. Пусть $W$ — произвольная точка на отрезке $BC$ отличная от точек $B$ и $C$. Обозначим через $M$ и $N$ основания высот треугольника $ABC$, проведенных из вершин $B$ и $C$, соответственно. Пусть ${{\omega }_{1}}$ окружность, описанная около треугольника $BWN$, а $X$ — такая точка на ${{\omega }_{1}}$, что $WX$ — диаметр ${{\omega }_{1}}$. Аналогично, пусть ${{\omega }_{2}}$ — окружность, описанная около треугольника $CWM$, и $Y$ — такая точка на ${{\omega }_{2}}$, что $WY$ — диаметр ${{\omega }_{2}}$. Докажите, что точки $X$, $Y$ и $H$ лежат па одной прямой.

Комментарий/решение

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ также пересекаются в точке $M$,отличную от точки $W$.

Заметим,что точка $M$ является точкой Микеля,т.к. лежит на $(BWN),(AMN),(CWM)$.

$\angle XPW=90^\circ,\angle YPW=90^\circ,\angle APH=90^\circ \Rightarrow$ $X,Y,H$ коллинеарны

что за точка $P$

Пусть $T$ — пересечение $\omega_1$ и $\omega_2$,не точка $W$.

$\angle{XTW} = \angle{YTW} = 90$, поэтому $XTY$ — прямая линия. Пусть описанные окружности $NBW$ и $MWC$ будут $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно, и поскольку $BNMC$ вписанный пусть его описанная окружность равна $\omega_3$. Тогда каждая пара радикальных осей окружностей $BN, TW,$ и $MC$ должна пересекатся в одной точке пересечения $BN$ и $MC$, то есть $A$.Отсюда $T$ лежит на $AW$ $\angle{YTW} = 90^\circ$.Пусть $AH$ пересекает $BC$ в точке $L$, которая также является высотой к этой стороне. Следовательно, $\angle{ALB} = 90^\circ.$ Отсюда YT перпендикулярно AW. Мы знаем, что $NHLB$ является вписанным, поскольку сумма $\angle{BNH}$ и $\angle{BLH}$, противоположных и прямых углов, равна $180^\circ$. Кроме того, нам дано, что $NTWB$ вписанный . Следовательно, по степени точки,

$AT*AB = AH*AB = AH*AL$

Следовательно $THLW$ вписаный.

Следовательно, $\angle{WTH} = 180^\circ - \angle{WLH} = 90^\circ$, а значит, $HT$ также перпендикулярен $AW$. Объединив все утверждение , мы приходим к выводу, что $T, H, Y$ коллинеарны. Но поскольку $X$ лежит на $YT$, $X, Y, H$ лежат на одной прямой.