53-я Международная Математическая OлимпиадаАргентина, Мар-дель-Плата, 2012 год

Найдите все функции $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ такие, что для любых целых чисел $a,b,c$, удовлетворяющих условию $a+b+c=0$, выполняется равенство: $$f{{(a)}^{2}}+f{{(b)}^{2}}+f{{(c)}^{2}}=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).$$ (Через $\mathbb{Z}$ обозначено множество всех целых чисел.)

Комментарий/решение

Ответ: Для любой целой константы $C:$

$1)$ $f(2x)\equiv 0, f(2x+1)\equiv C,$

$2)$ $f(4x)\equiv 0, f(4x+2)\equiv 4C, f(4x+1)\equiv f(4x+3)\equiv C.$

$3)$ $f(x)\equiv Cx^2,$

Решение: Пусть $P(a,b,c)$ обозначает условие. Из $P(0,0,0)$ и $P(x,-x,0)$ получаем, что $f(0)=0, f(x)=f(-x).$

Преобразуем условие:

$$\left(f(a)+f(b)-f(a+b)\right)^2=4f(a)f(b),\forall a,b\in\mathbb Z.$$

Из условия следует, что $f$ в любой точке имеет один и тот же знак. Замена $f\to -f$ ничего не меняет, поэтому БОО $f(x)\ge 0,\forall x.$

Еще раз преобразуем условие

$f(a+b)=f(a)+f(b)\pm 2\sqrt{f(a)f(b)} \iff \sqrt{f(a+b)} = | \sqrt{f(a)} \pm \sqrt{f(b)} |$

$$\iff Q(a,b): g(a+b)=| g(a)\pm g(b) | , \forall a,b\in\mathbb Z,$$

где $g(x)=\sqrt{f(x)}\ge 0.$ Теперь рассмотрим несколько случаев.

$\bullet$ Пусть $g(1)=c\ge 0.$ Из $Q(1,1):$ $g(2)=0$ или $g(2)=2c.$

$1)$ $g(2)=0.$ Из $Q(i,2)$ индукцией легко вывести $g(2x)\equiv 0, g(2x+1)\equiv c.$ Отсюда ответ

$$\boxed{f(2x)\equiv 0, f(2x+1)\equiv C=c^2\in\mathbb Z.}$$

$\bullet$ Теперь $g(2)=2c.$ Из $Q(2,1):$ $g(3)=c$ или $g(3)=3c.$

$2)$ $g(3)=c.$ Из $Q(2,2)$ и $Q(3,1): g(4)=0.$

Из $Q(i,4)$ индукцией легко вывести $g(4x)\equiv 0, g(4x+2)=2c, g(4x+1)=g(4x+3)=c.$ Отсюда ответ

$$\boxed {f(4x)\equiv 0, f(4x+2)\equiv 4C, f(4x+1)\equiv f(4x+3)\equiv C=c^2\in\mathbb Z.}$$

$3)$ $g(3)=3c.$ Из $Q(i-1,1), Q(i-2,2)$ для $i\ge 4$ индукцией легко вывести, что $g(x)\equiv cx.$ Отсюда ответ

$$\boxed{f(x)\equiv Cx^2, C=c^2\in\mathbb Z. }$$