52-я Международная Математическая OлимпиадаНидерланды, Амстердам, 2011 год

Пусть $f$ — функция, определенная на множестве целых чисел, принимающая целые положительные значения. Известно, что для любых целых $m$ и $n$ разность $f(m)-f(n)$ делится на $f\left( m-n \right)$. Докажите, что для любых целых $m$ и $n$ таких что $f(m)\le f(n)$, число $f(n)$ делится на $f(m)$.

Комментарий/решение

У нас есть $f(m-n)|f(m)-f(n)$, установка $n=0$ дает $f(m)|f(0)$, установка $m=0$, мы получаем $f(-n )|f(n)$, подразумевая $f(n)|f(-n)$, следовательно, $f(-n)= f(n)$ . Это дает $f(m+n)|f(m)-f (n)$ , Если $f(n)\geq f(m)$ имеем $f(m+n)\leq f(n)-f(m)$. Далее $f(n)|f(m +n)-f(m)$. Это означает, что мы можем иметь $(i) f(n)\leq f(m+n)-f(m)$, но из предыдущего неравенства $f(m+n)+ f(m)\leq f(n)\leq f(m+n)-f(m)$, что означает, что $2f(m)\leq 0$ явно невозможно. Мы рассматриваем случай $(ii) f(n)\ leq f(m)-f(m+n)$, но это с $f(n)\geq f(m)$ дает $f(m)+f(m+n)\leq f(n) +f(m+n)\leq f(m)$, что дает $f(m+n)\leq 0$, опять же невозможно. Последний случай $(iii)$ и единственная возможность - $f(m+ n)= f(m)$. Но мы имеем $f(m)|f(m+n)-f(n)$, подразумевая $f(m)|f(m)-f(n)$. Следовательно, мы должны иметь $f(m)|f(n)$

Красавчик

У вас после "это означает, что мы можем иметь" идёт ошибка решение не верно?

Или я ошибаюсь можете объяснить