52-я Международная Математическая OлимпиадаНидерланды, Амстердам, 2011 год

Для множества $A=\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}} \right\}$, состоящего из четырех попарно различных целых положительных чисел, обозначим через ${{s}_{A}}$ сумму ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}$. Через ${{n}_{A}}$обозначим количество пар индексов $\left( i,j \right)$, $1\le i < j\le 4$, для которых ${{s}_{A}}$ делится на ${{a}_{i}}+{{a}_{j}}$. Найдите все множества $A$, состоящие из четырех попарно различных целых положительных чисел, для которых ${{n}_{A}}$ принимает наибольшее возможное значение.

Комментарий/решение

Покажем, что $n_{A} \leq 4$.

В самом деле способов выбрать пару индексов из $4$ это $C^2_{4}=6$. Причем если $a_{1}<a_{2}<a_{3}<a_{4}$ то, $\frac{s_{A}}{2}< a_{2}+a_{4}, \, a_{3}+a_{4} < s_{A}$. Значит $n_{A} \leq 4$.

Пусть $n_{A}=4$. Так как $a_{1}+a_{4} \, | \, s_{A} \Rightarrow a_{1}+a_{4} \, | \, a_{2}+a_{3} \Rightarrow a_{1}+a_{4} \leq a_{2}+a_{3}$. Аналогично $a_{2}+a_{3} \leq a_{1} + a_{4}$. Тогда $a_{2}+a_{3} = a_{1} + a_{4}$. Пусть $a_{1} = x, \, a_{2} = x+b, \, a_{3} = x+a, \, a_{4} = x+b+a$, где $a > b$. Тогда выписывая оставшиеся сравнения получаем, что $2x+a \, | \, 2b, \, 2x+b \, | \, 2a$. Заметим, что частное в обоих выражениях не больше $3$, причем одновременно не больше двух. Так как $a>b$, то у нас есть всего три случая.

Если $2x+a=2b, \, 2x+b=2a \Rightarrow a=b=2x$, противоречие.

Если $2x+a=4b, \, 2x+b=2a \Rightarrow b=4x, \, a=6x$. Тогда $A=\{k, 5k, 7k, 11k\}$.

Если $2x+a=6b, \, 2x+b=2a \Rightarrow b=10x, \, a=18x$. Тогда $A=\{k, 11k, 19k, 29k\}$.