49-я Международная Математическая OлимпиадаИспания, Мадрид, 2008 год

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, в котором $BA\ne BC$. Обозначим окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$, через ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ соответственно. Предположим, что существует окружность $\omega $, которая касается продолжения отрезка $BA$ за точку $A$, продолжения отрезка $BC$ за точку $C$, а также касается прямых $AD$ и $CD$. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям ${{\omega }_{1}}$ и ${{\omega }_{2}}$ пересекаются на окружности $\omega $.

Комментарий/решение

Пусть $AB, CD$ встречаются в $X$, $AD, BC$ встречаются в $Y$, пусть $k$ пересекаются в $AB, DC, AD, BC$ соответственно в $P,Q,R,S$.

Используя касательные свойства относительно $k$, получаем:

$ BA + AD = BA + AR - DR = BP - DR = BS - DQ = BC + CQ - DQ = BC + CD$

Пусть $k_1, k_2$ пересекают $AC$ в точках $J$ и $L$ соответственно.

Используя окружности, мы имеем:

$AB + JC = BC + AJ$ и $DA + LC = DC + LA$

Сложение и использование $BA + AD = BC + CD$:

$ JC + LC = AL + AJ$

Что быстро дает $AL = JC$

Пусть вписанная окружность $\triangle ABC$ на стороне $AC$ равна $k_3$, а вписанная окружность $\triangle ADC$ на стороне $AC$ равна $k_4$.

Следовательно, $k_3, k_4$ встречаются с $AC$ в точках $L$ и $J$.

Теперь построим касательную к $k$, параллельную $AC$ (и находящуюся по ту же сторону от $k$, что и $AC$). Пусть эта касательная пересекает $k$ в точке $Z$.

Дилатация около $B$ переводит $k_3$ в $k$ и $L$ в $Z$.

Дилатация (отрицательная) относительно $D$ переводит $k_4$ в $k$ и $J$ в $Z$.

Следовательно, $BL$ и $DJ$ встречаются в точке $Z$.

Наконец, постройте две недостающие касательные к $k_1$ и $k_2$, параллельные $AC$, пусть точки касания будут $M$ и $N$ соответственно.

Аналогичные аргументы о расширении показывают, что $ B,M,L,Z$ коллинеарны и $ D,N,J,Z$ также коллинеарны.

Так как $JM$ и $LN$ параллельны и являются диаметрами $k_1$ и $k_2$. $ JN$ и $ LM$ встречаются в центре расширения, которое переводит $k_1$ в $k_2$, который, как мы знаем, является точкой $ Z$. Следовательно, $Z$ — пересечение внешних общих касательных и по построению $Z$ лежит на $k$.