49-я Международная Математическая OлимпиадаИспания, Мадрид, 2008 год

Пусть $H$ — точка пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность с центром в середине стороны $BC$, проходящая через точку $H$, пересекает прямую $BC$ в точках ${{A}_{1}}$ и ${{A}_{2}}$. Аналогично окружность с центром в середине стороны $CA$, проходящая через точку $H$, пересекает прямую $CA$ в точках ${{B}_{1}}$ и ${{B}_{2}}$, а окружность с центром в середине стороны $AB$, проходящая через точку $H$, пересекает прямую $AB$ в точках ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$. Докажите, что точки ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$, ${{B}_{1}}$, ${{B}_{2}}$, ${{C}_{1}}$, ${{C}_{2}}$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Пусть $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ окружности с диаметром на $BC, AB, AC$ соответственно. На самом деле нам достаточно показать концикличность следующих четверок точек: $C_1C_2B_1B_2$, $C_1C_2A_1A_2$, $A_1A_2B_1B_2$

(i)$C_1C_2B_1B_2$

Пусть $D, E, F$ середины $AC, AB, BC$. Для вписанности нам достаточно показать что $Pow(A, \omega_3) = Pow(A, \omega_2)$. То есть $A$ - должна лежать на радикально оси этих окружностей. Зная что $H$ лежит на одном из пересечений окружностей, $AH$ должна является искомой радикальной осью. Соединим $D$ и $E$, очевидно $AH \perp DE$, причем $D$ и $E$ являются центром обоих окружностей, но прямая перпендикулярная отрезку соединяющего центры двух окружностей, проходящая через одну из точек пресечения, является радикальной осью.

Для оставшихся точек $C_1C_2A_1A_2$, $A_1A_2B_1B_2$, доказательство аналогичны.

Нурс аби мощь