48-я Международная Математическая OлимпиадаВьетнам, Ханой, 2007 год

Даны пять точек $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ такие, что $ABCD$ — параллелограмм, а около четырехугольника $BCED$ можно описать окружность. Прямая $l$ проходит через точку $A$, пересекает отрезок $DC$ в его внутренней точке $F$, а прямую $BC$ в точке $G$. Предположим, что $EF=EG=EC$. Докажите, что прямая $l$ является биссектрисой угла $DAB$.

Комментарий/решение

Пусть $ABCD$ - параллелограмм и $G \in BC$ такая что $BA=BG$ и $F \in CD \cap AG$ так же пусть $E$ точка пересечения серединных перпендикуляров $TE,NE$ для отрезков $CG,CF$ то есть $EG=EG=EC$ и $AG$ биссектриса $\angle DAB$ покажем что $BCED$ вписанный.

Доказательство: из условия следует $CG=CF$ тогда и $EN=ET$ и $FG \perp CE$ пусть $\omega$ окружность с центром в $B$ и $R=BA$ и пусть $M \in AD \cap \omega$ и $FNHE$ вписанный т.к $\angle FNE = \angle FHE = 90^{\circ}$ если $\angle CNH = a$ тогда $\angle CEF = a$ тогда $\angle GEC = a$ значит $\angle EGH = 90^{\circ} - a $ откуда $\angle CGF = \dfrac{a}{2}$ тогда $\angle MAG = \angle BAG = \dfrac{a}{2} $ тогда $\angle ABM = 180^{\circ}-2a$ то есть $G,E,M$ лежат на одной прямой, тогда $\angle GBM = 180^{\circ}-a-(180^{\circ}-2a) = a$ и так как $CD || AB$ получается $\angle BAM = a = \angle CDM = \angle CBM = \angle GEC$ то есть $BCEDM$ вписанный.