47-я Международная Математическая OлимпиадаСловения, Любляна, 2006 год

Точка $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Внутри треугольника выбрана такая точка $P$, что $\angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB.$ Докажите, что $AP\ge AI$, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка $P$ совпадает с точкой $I$.

Комментарий/решение

$$\angle BAC=x, \angle CBA = y, \angle ACB=z$$

$$\angle PBA+\angle PCA+\angle PBC+\angle PCB=y+z$$

$$ \angle PBA+\angle PCA=\angle PBC+\angle PCB \Rightarrow $$ $$\Rightarrow \angle PBC+\angle PCB=\frac{z+y}{2}=\frac{180^o-x}{2}=90^o-\frac{x}{2}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \angle BPC= \angle BIC , (P\in \omega_{BCI})$$

$\omega_{BCI}$ - окружность,вписанная в треугольник $BCI$

$$\smile{BC}=2BM \Leftrightarrow M=AI \cap \Omega _{ABC}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow AP+PM\geq AM= AI+PM\Rightarrow AP\geq AI$$

$$P\in AI\Leftrightarrow P=I \Rightarrow AP=AI$$