42-я Международная Математическая OлимпиадаСоединённые Штаты Америки, Вашингтон, 2001 год

Пусть $a,b,c,d$ — такие целые числа, что $a > b > c > d$. Предположим, что $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c).$ Докажите, что число $ab+cd$ не является простым.

Комментарий/решение

Заметим, что из этого следует $$a^2+c^2-ac=b^2+d^2+bd$$

Далее мы получаем, что $$(ab+cd) \times (ad+bc) = bd \times (c^2+a^2-ac) + ac \times (b^2+d^2+bd)$$ и $(ab+cd) \times (ad+bc) = (ac+bd) \times (a^2+c^2-ac)$

Заметим, что $ab+cd>ac+bd>ad+bc$ Отсюда получаем, что если $ab+cd$ простое, то $ad+bc$ должен делиться на $ac+bd$ , а это невозможно.

Давайте решим нашу задачу используя геометрию то есть у нас очевидно $a$<$b+c+d$ ведь $ac+bd$>0 тогда построим вписанный четырех угольник со сторонами a;b;c;d тогда у нас по сильной теореме птолемея $AC$*$BD$=$ac+bd$ каждое из диагоналей больше двух тогда это не простое

с = а+b+d (mod a+b+d-c) екенін байқауға болады. ас+bd = 0 (mod b+d+a-c) болғандықтан, а(а+b+d) + bd= (a+b)(a+d)=0 (mod b+d+a-c) болуы керек. Дәл осылай (c+b)(c+d) = 0 (mod b+d-a+c) болуы керек. Онда (a+b)(a+d)(c+b)(c+d) = 0 (mod (b+d+a-c)(b+d-a+c)). (a+b)(a+d)(c+b)(c+d)=(ab+ac+cd+bd)(ac+ad+bc+bd)=(ab+cd)(ad+bc)= 0 (mod ac+bd). ab+cd> ac+bd>ad+bc екенін байқауға болады. Осыдан ab+cd = 0 ( mod ac+bd).

Из условия следуют следующие утверждения:

$b+d+a-c|ac+bd$ и $b+d-a+c|ac+bd$

Преобразуем первое выражение:

$b+d+a-c|ac+bd+a(b+d+a-c)=(a+b)(a+d)$

Аналогично и 2 выражение:

$b+d-a+c|ac+bd+c(b+d-a+c)=(c+d)(b+c)$

Перемножив полученные выражения получим следующее:

$(b+d+a-c)(b+d-a+c)|(c+d)(b+c)(a+b)(a+d)⇔ac+bd|((ac+bd)+(ad+bc))((ac+bd)+(ab+dc))$

То: $ac + bd | (ab +cd)(ad +bc)$

Теперь если $ab+cd$ является простым, то $ab+cd$ и $ac+bd$ должны быть взаимно простыми, то: $ac+bd | ad+bc$ из этого следует, что $ac +bd ≤ ad+bc$ и так как $a>b>c>d$, то $ab+cd > ac+bd > ad+bc$ противоречие.