42-я Международная Математическая OлимпиадаСоединённые Штаты Америки, Вашингтон, 2001 год

Пусть $n$ — нечетное число, $n > 1$, и ${{k}_{1}},{{k}_{2}},\ldots ,{{k}_{n}}$ — данные целые числа. Для каждой из $n!$ перестановок $a=\left( {{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots ,{{a}_{n}} \right)$ чисел $1,2,\ldots ,n$ положим $S(a)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{k}_{i}}}{{a}_{i}}$. Докажите, что найдутся такие различные перестановки $b$ и $c$, что $S\left( b \right)-S\left( c \right)$ делится на $n!$.