38-я Международная Математическая OлимпиадаАргентина, Мар-дель-Плата, 1997 год

В треугольнике $ABC$ угол $A$ наименьший. Пусть $U$ — точка на той дуге $BC$ описанной около треугольника окружности, которая не содержит точку $A$. Серединные перпендикуляры к отрезкам $AB$ и $AC$ пересекают прямую $AU$ в точках $V$ и $W$ соответственно. Прямые $BV$ и $CW$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что $AU=TB+TC$.

Комментарий/решение

$V$ лежит на серединном перпендикуляре $AB$ поэтому $VB=VA , \angle VAB = \angle VBA$ . Аналогично $WA=WC , \angle WAC = \angle WCA$.

Пусть $CW \cap (ABC) = D$ .Тогда $ \angle BDT = \angle BAV + \angle CAV = \angle VBA + \angle WCA = \angle VBA + \angle ABD = \angle VBD = \angle TBD$. Значит$ \angle BDT = \angle TBD$ , то есть $TB=TD$ . Также $\angle DCA = \angle DUA = \angle CAU = \angle CDU.$ Выходит $\angle CDU = \angle DUA \Rightarrow \angle \angle WDU = \angle DUW \Rightarrow WU=WD$ .

$WU=WD , WA=WC \Rightarrow AW+WU = CW+WD \Rightarrow AU = CD$

$ AU=CW+WD= CW + WT + TD = CW+WT+TB=CT+TB$

Получается $ AU = TB+TC$ ч.т.д